Matematika

HIMPUNAN DAN FUNGSI

Pengertian Himpunan

            Menurut H.M Hasyim Baisuni (2011:3) himpunan dapat diartikan sebagai suatu kumpulan dari beberapa elemen, dan elemen ini diartikan sebagai anggota dari himpunan.

Sedangkan menurut nurdhinlengke.blogspot.com ( 2 Desember 2013 ) Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.

Dan menurut fisikaanhariaqso.files.wordpress.com ( 2 Desember 2013 ) himpunan adalah suatu  kumpulan atau koleksi/gabungan dari objek-objek. Objek-objek ini biasa   disebut juga anggota atau unsur atau elemen dari himpunan tersebut. Jadi himpunan dapat didefiniskan sebagai kumpulan objek-objek dengan suatu sifat/ciri tertentu, dengan kata lain himpunan adalah kumpulan suatu objek yang mempunyai ciri dan karakteristik yang sama.

Notasi Himpunan

            Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara elemen himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.

Jenis – jenis Himpunan

a.       Himpunan lepas (disjoint)

Himpunan A lepas dari himpunan B bila tidak ada anggota A yang menjadi anggota B. Notasi A  || B

b.      Himpunan komplemen

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

A = {3, 5}

A’ = A^c = himpunan komplemen dari A = {1, 2, 4, 6}. Penulisan notasi adalah A’

c.       Himpunan universum atau semesta pembicaraan

Adalah himpunan dari semua unsur yang dibicarakan. Penulisan notasi U atau S

d.      Himpunan Bagian

A himpunan bagian dari himpunan B. Notasi adalah A T B

e.       Himpunan kosong

Himpunan yang tidak mempunyai anggota sama sekali. Notasinya adalah {  } atau Ø

f.       Himpunan yang sama

Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B bila setiap anggota A juga menjadi anggota B dan sebaliknya. Notasinya adalah A = B

g.      Himpunan yang anggotanya sama banyak

A = {1, 2, 3, 4}

B = {a, b, c, d}

Banyaknya anggota A = 4 ditulis n(A) = 4.

Banyaknya anggota B = 4, ditulis n(B) = 4.

n(A) = n(B) = 4

Macam – macam Himpunan

a.       Himpunan asli

Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.

b.      Himpunan bilangan prima

Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.

c.       Himpunan bilangan bulat.

Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:
p/q dimana p,q Î bulat dan q ¹ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.

d.      Himpunan irasional

Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.

e.       Himpunan bilangan majiner

Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1

f.       Himpunan bilangan kompleks

Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b Î R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner

Operasi Himpunan

a.       Gabunan (Union)

A U B = B U A disebut sifat komutatif gabungan

(A U B) U C = A U (B U C) disebut sifat asosiatif gabungan

A U Ø = A

A U U = U

A U A = A

A  U A’ = U Disebut sifat komplemen gabungan

b.      Irisan ( Intersection )

A W B = B W A disebut sifat komutatif irisan

A W A = A

A W  = Ø

A W U = A

A W A’ = Ø disebut sifat komplemen irisan

(A W B) W C = A W (B W A) disebut sifat asosiatif irisan

c.       Distributif

A U (B W C) = (A U B) W (A U C); disebut sifat distributif gabungan terhadap irisan.

A W (B U C) = (A W B) U (A W C); disebut sifat distributif irisan terhadap gabungan.

d.      Selisih

A – A = Ø

A – Ø = A

A – B = A W B’

A – (BUC) = (A – B)W (A – C)

e.       Komplemen

(A’)’ = A

U’ = Ø

Ø’ = U

AUA’ = U

AWA’ = U

AWA’= Ø

f.       Banyaknya Anggota

n(A) + n(B) K n(AUB)

n(AUB) = n(A) + n(B) – n(AWB)

n(AUBUC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AWB) – n(BWC) – n(CWA) + n(AWBWC)

n(A) + n(B) = n(AUB) + n(AWB)

n(A) + n(B) + n(C) =n(AUBUC) + n(AWB) + n(AWC) + n(BWC) – n(AWBWC)

Pengertian Fungsi

Pemetaan atau fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan pemetaan yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat tunggal (tepat satu) anggota B

Himpunan A  disebut domain (daerah asal), dinotasikan Df . Himpunan B disebut kodomain (daerah lawan) dinotasikan dengan Cf. Relasi dari humpunan A ke himpunan B disebut range (daerah hasil), dinotasikan Rf.

Menurut luphelopt.wordpress.com ( 2 Desember 2013 ) bahwa fungsi  adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain).

Jenis - jenis Fungsi

a.       Fungsi Onto

Definisi : Suatu fungsi f dari himpunan A ke B dikatakan fungsi onto (surjectif) jika range (daerah hasil) f sama dengan B atau f onto jhj Rf = B

b.      Fungsi Injektif

Definisi : fungsi f disebut fungsi injektif (fungsi satu-satu) jika dan hanya jika tidak ada anggota yang berbeda di A mempunyai bayangan yang sama.

c.       Fungsi Bijektif

Fungsi f disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi f sekaligus merupakan fungsi onto (surjektif) dan fungsi satu-satu (injektif).

d.      Fungsi Identitas

Suatu fungsi f dari himpunanA ke B disebut fungsi identitas jika dan hanya jika himpunan A = himpunan B.

e.       Fungsi Konstan

Fungsi f dari himpunan A ke B disebut fungsi konstan dan hanya jika hanya ada satu anggota B menjadi pasangan dari setiap anggota A. Dengan kata lain, f: AàB konstan jhj range f hanya satu anggota.

Dari penjelasan diatas, maka dapat disimpulkan bahwa,

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota himpunan.

Fungsi dapat diartikan sebagai pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Himpunan dengan fungsi saling mempunyai hubungan keterkaitan.

Suatu fungsi (pemetaan) dapat dinyatakan dalam koordinat cartesius (koordinat cartesian), dimana anggota himpunan A terletak pada sumbu mendatar dan anggota himpunan B terletak pada sumbu tegak. Untuk menyatakan setiap pasangan anggota himpunan pertama yang berhubungan dengan anggota himpunan kedua digunakan tanda noktah (.)